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第五节两个准则与两个重要极限
一、准则1与重要极限1
一、准则1与重要极限1[准则1]设
，
，
为三个数列，满足1．对一切正整数
，
.2．
则
对三个函数，准则1也正确.以准则1为依据，可证出如下重要极限1[重要极限1]
，更一般地
.例1．求
（
，常数）分析：含三角函数，必应由重要极限1求解，按公式，
应与
比，所以分子，分母同时乘以
，且
时可保证
.解：
例2．求
解：
（牢记：
，
）
可作为公式使用.例3．求
分析：应用公式1，根据
，化为公式1的形式.解：
例4．求
分析：根据三角函数诱导公式
，化为公式1的形式.解：
例5．求
分析：由分式1的更一般形式
，将
看作
，注意到当
时，
，
，而
含
.故可根据公式1求解.解：
例6．求
分析：因为
，当
时，
与
的变化无关的量，可视为常量.从而
，故可根据公式1求解.解：
例7．求
分析：因为
与
互为反函数，所以应通过反函数变形，化为公式1的形式.解：令
，则
且当
时，
，从而有
.（由
，易知
）例8．讨论下述极限
分析：对
，当
时，
是无穷小.而由于
，
振荡无极限，然而
有界，所以根据无穷小运算性质，当
时，
为无穷小乘有界量，仍然是无穷小，故
.对
，因为
，它就是重要极限1的形式，因此，由公式知：
.对
，注意到
时，
，再由
可知它可化为公式1，故由公式有：
.对
，当
时，
振荡无极限，但
有界，而
，于是
时，
又构成无穷小乘有界量，所以
.综上，遇到
时，
与
振荡的问题，又含无穷小量因子，则应用无穷小量运算性质，将
，
看作有界量；遇到
；
的问题，则应考虑化为重要极限1的形式.