高等数学

第二节函数的极限

一、当x→∞时函数f(x

    
    一、时，函数的极限数列是定义在正整数集合上的整标函数，的极限概念是在自变量无限增大，即取无限增大的正整数过程中刻划整标函数值的变化趋势的概念，对于定义在实数集合上的函数的变化趋势的研究，由于自变量的取值有两种截然不同的状态，即与（是一个定常数），所以应分别讨论时函数的极限与时的极限.<定义2.5>给定函数，在自变量的绝对值无限增大（记作）过程中，对应的函数值趋向于唯一常数（记作），则称是当时函数的极限，记作或（）.例1．讨论函数在时是否有极限解：观察的图形（图2-7），当无限增大时，即无论沿横轴向右无限取值还是沿横轴向左无限取值时，对应的函数值愈来愈接近数0，所以当时，函数以0为极限，即有.例2．讨论函数在时是否有极限解：观察的图形（图2-8），当无限增大时，对应的函数值也无限增大，并不趋向于唯一常数，所以，当时函数没有极限，形式上可记为.例3．讨论函数在时是否有极限解：观察的图形（见2-9），当无限增大，函数值取遍上的一切实数值，并不趋向于唯一常数，所以当时，函数没有极限，这种情况下，称为振荡无极限.如果自变量取值从某一时刻以后取正实数，且无限增大，则记为，即沿轴向右无限取值，类似的，表示沿轴向左无限取值.当时趋向于唯一常数，则记为；当时趋向于唯一常数，则记为.<命题>的充分必要条件是例4．讨论在时是否有极限解：观察的图形（图2-10），有由于，所以不存在.