高等数学

第一节数列的极限

二、数列的极限

    
    二、数列的极限由例1中各数列的前五项的数值的变化，辅以图形中点的分布状态可以看出，随着项数值的逐渐增大，它们有着各自的变化趋势.在项数无限增大（通常记为，“”理解为“趋向于”）时，可看出：的值无限增大，即的值趋向于常数，即的绝对值趋向于常数，即的值当是偶数时趋向于，而当是奇数时趋向于0.的值趋向于，即的值当是偶数时无限增大，而当是奇数时趋向于.在上述各种变化趋势中，当时，如果趋向于唯一常数时，我们称数列有极限.<定义2.4>给定数列，在项数无限增大过程中（记为），如果的值趋向于唯一常数（记为），则称常数为无限增大时数列的极限，记作或，亦称收敛或称收敛于，否则称发散，发散时无极限.如前所述考察，当无限增大时，将无限减小，由此可知，过程中以为极限的含义是：对充分大的，的值与做为它的极限值的差的绝对值可以要多小有多小，从图形角度看的含义是：当的取值沿轴向右变化时，对应的点离直线愈来愈接近.根据定义，通过观察，数列的图形是随增大沿轴正方向愈来愈远离轴的点，即无限增大，所以时，发散无极限，这种情况下，可称为无穷型发散，为表达方式的一致和方便可记为.通过观察，可知在过程中而发散（在与两点跳跃，可称为跳跃型发散），发散（在与无限远点跳跃）.