第六章 定积分
学习目的和要求
本章主要学习和了解定积分的概念和基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法，定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）.
具体要求如下：
1．理解定积分的概念.了解定积分的几何意义.掌握定积分的基本性质.
2．理解变上限积分作为上限的函数的含义，会求这类函数的导数.
3．掌握牛顿-莱布尼茨公式.
4．熟练掌握定积分的换元法和分部积分法.
5．会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积. 本章主要内容
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分定义<定义6.1>设函数 
在
上连续，引入分点
将
分割为
个小区间，用
表示第
个小区间
，且表示其长度，即
，记
，任取点
，若
存在，且其值与对
的分法及
的选取方法无关，则称
在
上可积，且称极限为
在
上的定积分，记为
。即
为积分区间，
叫积分下限，
叫积分上限，
叫被积函数，
叫被积表达式。二、定积分的性质性质1 定积分具有线性性质2 定积分具有对积分区间的可加性性质3 定积分具有保序性推论1，在
上，
，则
；
，则
推论2，
推论3，在
上
连续，存在
，
，从而
，则
性质4（定积分中值定理）若
在
连续，则至少存在一点
，使
或
第二节 定积分的基本公式
一、变上限函数及其导数1．变上限函数概念设置函数
在
上连续，任取x
，则
在
上亦连续，所以积分
存在，（这里将
记为
，是为了避免将被积表达式中的字母
与积分上限的
混淆）。于是对于
的每个
，有唯一确定的积分值
与之对应，称这个函数为上限
的变上限函数，记为
。其定义域为
。2．变上限函数的导数
变上限函数对上限
的导数等于被积函数在上限的值（即用上限
替换
的
）由于
是关于
的复合函数，由复合函数求导数的链式法则及上限函数导数规则，有
二、牛顿-莱布尼茨公式
第三节 定积分的换元法
一、定积分的换元法设函数
在
上连续,令
，如果（1）
在
上有连续的导数
（2）当
从
到
时，
从
单调变到
则
上式从右到左使用，对应不定积分的第一换元积分法；从左到右使用对该不定积分的第二换元积分法。
第四节 定积分的分部积分法
一、定积分的分部积分法设
, 
有连续导数.则
这就是定积分的分部积分公式。
第五节 定积分的几何应用
一、平面图形面积的计算二、旋转体的体积的计算