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第二章极限与连续

    学习目的和要求
    本章主要学习和了解数列极限和函数极限的定义和性质，函数的左极限与右极限，无穷大和无穷小的概念及其关系，无穷小的性质和比较，极限运算法则、极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限：

.
    函数连续的概念，左连续与右连续，函数间断点的类型，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最大值、最小值定理和介值定理）.
    具体要求如下：
    1．理解数列极限和函数极限的概念.
    2．会求数列极限和函数极限（含左极限与右极限）。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.
    3．理解无穷小和无穷大的概念.掌握无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系.了解高阶、同阶、等价无穷小的概念.会用等价无穷小求极限.
    4．会利用极限存在的两个准则求极限.
    5．理解函数连续性的概念（含左连续、右连续）.会求函数的间断点.
    6．掌握连续函数的四则运算法则.
    7．理解复合函数、反函数和初等函数的连续性.
    8．掌握闭区间上连续函数的性质.
    本章主要内容

第一节数列的极限

    一、数列及性质
    1．数列的概念
    <定义2.1>定义在正整数集全的函数，当自变量按1，2，3……依次增大取值时，对应的函数值按正整数的顺序排成一串数.
    ，，……，，……
    称其为一个无穷数列，简称数列.
    2．数列的性质
    <定义2.2>给定数列，若对应一切正整数，有
    （1）则称为单调增数列；
    （2）则称为单调减数列；
    （3）即不满足（1），也不满足（2），则称为摆动数列.
    <定义2.3>给定数列，若对于一切正整数，存在一个正数，使得，则称为有界数列.若使的不存在，则称为无界数列.
    二、数列的极限
    <定义2.4>给定数列，在项数无限增大过程中（记为），如果的值趋向于唯一常数（记为），则称常数为无限增大时数列的极限，记作或，亦称收敛或称收敛于，否则称发散，发散时无极限.
    三、数列极限的性质
    性质1 （极限存在唯一性）
    若数列收敛，则极限为唯一常数.
    性质2 收敛数列必为有界数列
    应注意，性质2的逆命题不成立，如数列发散，但它有界，这说明有界数列未必收敛.
    性质2的逆命题不成立，但逆否命题一定成立，即，无界数列必发散，如数列无界，则一定发散.

第二节函数的极限

    一、时，函数的极限
    <定义2.5>给定函数，在自变量的绝对值无限增大（记作）过程中，对应的函数值趋向于唯一常数（记作），则称是当时函数的极限，记作或（）.
    二、当时函数的极限
    <定义2.6>设函数在点的空心领域有定义，当自变量的取值范围趋向于时（记作），对应的函数值趋向于唯一常数，则称常数为时函数的极限，记作或.
    <定义2.7>如果从点的左侧（即）趋向于，称为在趋向于，记作；如果从点右侧（即）趋向于，称为在趋向于，记作.
    <定义2.8>若时，对应函数值，则称为在点处的左极限，左极限记为，即.若时，对应函数值，则称为在点处的右极限，右极限记为，即.
    [定理]的充分必要条件是.

第三节无穷小量与无穷大量

    一、无穷小量与无穷大量的概念
    <定义2.9>以为极限的变量，称为无穷小量.
    <定义2.10>当或时，，则称为无穷大量.
    二、无穷小量与无穷大量的关系
    [定理]设是自变量的变化过程（或）中的无穷小量，且，则是同过程中的无穷大量.如果是无穷大量，则是无穷小量.
    三、无穷小量的运算性质
    [定理1]设，是同一过程中的无穷小量，则仍是该过程中的无穷小量.
    [定理2]设是某过程中的无穷小量，是有界函数，则仍是该过程中的无穷小量.
    <推论1>常数乘无穷小量仍是无穷小量.
    <推论2>有极限的函数乘无穷小量仍是无穷小量.
    <推论3>无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量.
    <推论4>无穷小量的有限次幂仍是无穷小量.

第四节极限的四则运算法则

    一、四则运算法则
    [定理1]代数和的极限等于极限的代数和.

    [定理2]乘积的极限等于极限的乘积.

    <推论1>常数因子可以提到极限号外

    <推论2>幂的极限等于极限的幂.

    [定理3]当分母的极限膛为0时，商的极限等于极限的商.

第五节两个准则与两个重要极限

    一、准则1与重要极限1
    [准则1]设，，为三个数列，满足
    1．对一切正整数，.
    2．
    则
    对三个函数，准则1也正确.
    以准则1为依据，可证出如下重要极限1
    [重要极限1]，更一般地二、准则2与重要极限2
    [准则2]单调有界数列必有极限
    以准则2为依据可证重要极限2
    [重要极限2]

第六节无穷小量的比较

    一、无穷小量比较的概念
    <定义>设，是同一过程中的无穷小量
    1．若，则称是比高阶的无穷小量，记为.
    2．若，则称是比低阶的无穷小量.
    3．若，则称与为同阶的无穷小量.
    4．若，则称与为等阶无穷小量，记为.
    与等价，则与同阶；与同阶时不一定等价.
    关于等价无穷小量有下述定理
    [定理]（无穷小量代换定理）
    设，，，是同过程中的无穷小量，且，，则
    常见等价无穷小量的关系，如下：
    当时，，，，；，，；，，；，，

第七节复合函数的极限

    一、复合函数的极限
    设当（或）时，复合函数有极限，则二、含未知参数的极限问题
    1．过程的问题
    在过程中，有理分式的极限问题，应依据
    讨论
    2．含无穷小量的问题
    3．分段函数问题

第八节函数连续性

    一、函数连续性
    1．函数增量
    <定义2.11>设函数在点邻域有定义，给自变量以增量，称为与对应的函数增量.由图2-17可知，是曲线上点与的横坐标之差，是点与的纵坐标之差.
    2．函数在点处连续的定义
    <定义2.12>设在点邻域有定义，对应有，如果，则称在点连续，点称为的连续点.
    在应用中，为了方便，常用如下等价形式的定义.
    <定义2.13>设在点邻域有定义，是邻域内一点，如果，则称在点连续.
    <定义2.14>若，则称在点处右连续；若，则称在点处左连续.
    由于若存在的充分必要条件是，所以有：
    [定理]在点处连续的充分必要条件是在点处既右连续也左连续.
    3．函数在区间上连续的定义
    <定义2.15>如果在内的每一点都连续，则称在内连续，称为的连续区间.
    <定义2.16>如果在内的连续，在处右连续，在处左连续，则称在上连续.
    从几何学角度，若在内连续，其图形为无缝隙的弧股.
    二、初等函数的连续性
    1．连续函数的四则运算法则
    [定理1]设函数与都在点处连续
    （1）在点处连续
    （2）在点处连续
    （3）在点处连续（）
    简言之，连续函数经有限项四则运算所得函数仍是连续函数.
    [定理2]设函数在点处连续，记，而函数在处连续，则复合函数点处连续.
    简言之，连续函数经有限次复合所得函数仍是连续函数.
    2．基本初等函数的连续性
    根据定义可证明基本初等函数在有定义的点处连续，即基本初等函数的连续区间就是它的定义域.
    3．初等函数的连续性
    初等函数是基本初等函数经有限次四则运算或有限次复合所得函数，所以由基本初等函数连续性及四则运算法则可知初等函数在定义域连续.
    4．函数的间断点
    <定义2.17>设函数在点的空心邻域有定义，在点有定义或在点无定义，如果在点不连续（不满足）则称点为函数的间断点.
    三、闭区间上连续函数的性质
    [定理1]（最大值与最小值定理）
    设在上连续，则必在上取得函数值的最大值（通常记为）与函数值的最小值（通常记为），取对一切，有.（参见图2-19）