高等数学

第四章 微分中值定理与导数应用

    
    学习目的和要求
    本章主要学习和了解微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理），洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线.
    具体要求如下：
    1．理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理
    2．熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法（只要求“”、“”、“”、“”型未定式极限）
    3．掌握利用导数判断函数单调性的方法.
    4．理解函数极值的概念.掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题.
    5．会判断平面曲线的凹凸性，会求平面曲线的拐点. 本章主要内容
    

第一节 微分中值定理

    一、罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，且端点函数值相等，即，则至少存在一点，使得.二、拉格朗日定理如果函数在连续，在内可导，则至少存在一点，使得或.

第二节 洛必达法则

    一、型未定式[定理1]设1．2．在点的空心邻域内，存在，且3．则[定理2]设1．2．对充分大的，与存在，且3．则二、型未定式在定理1与定理2中，将第1个条件中的极限由改为，则有与两定理同类的结论：三、其他未定式1．型未定式2．型未定式四、关于洛必达法则的说明洛必达定理的已知条件是充分性质条件，而不是必要性条件.一般而言，遇有振荡函数，则慎用洛必达法则，往往要根据无穷小乘有界量的无穷小未求解.

第三节 函数单调增减性的判定条件

    一、函数单调增减性的判定条件设函数在上连续，在内可导，对任意1．如果，则在上单调增加2．如果，则在上单调减少

第四节 函数的极值

    一、函数的极值的概念<定义4.1>设函数在点邻域有定义，为点空心邻域内任意一点.1．如果，则称点为函数的极小值点，为极小值.2．如果，则称点为函数的极大值点，为极大值.极小值与极大值点统称为极值点；极小值与极大值统称为极值.二、极值存在的判定条件1．必要条件[定理1]设点是的极值点，在点可导，则.2．充分条件[定理2]（极值存在的第一充分条件）设是的驻点（即使的点）或使不存在的点.[定理3]（极值存在的第二充分条件）设是驻点，且在点二阶可导1．如果，则点是极小值点.2．如果，则点是极大值点.3．如果，则判定不出极值.三、最大值与最小值由闭区间上连续函数的性质可知，若在上连续，则必取得最大值（记为）与最小值（记为），与的求法.其中是在内的驻点使不存在的点.四、最大值与最小值应用问题如果函数在定义域内存在唯一极值，则该极值即为最值（最值是指最大值或最小值），很多刻划实际中的最大，最小值的应用问题的函数都只存在唯一极值，因此，我们可以通过求极值的方法，求解这一类应用问题.

第五节 曲线的凹凸与拐点

    一、曲线的凹凸性1．概念<定义>设在连续，若曲线位于其上任意一点处的切线的上方，则称曲线为凹的（图4-4）.若曲线位于其上任意一点处的切线的下方，则称曲线为凸的（图4-5）.相应称为的凹区间和凸区间.2．曲线凹凸性的判定条件[定理]设在有一阶和二阶导数，对任意（1）如果，则在是凹的（2）如果，则在是凸的二、曲线的拐点1．拐点概念若曲线连续,则称曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点.2．判定拐点的充分条件是：设点是使等于零或使不存在的点.（1）当从小于变化到大于时，改变符号，则是曲线的拐点.
    （2）当从小于变化到大于时，不改变符号，则不是曲线的拐点.