第三章 导数与微分
学习目的和要求
本章主要学习和了解导数和微分的定义，左导数与右导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算法则，导数和微分的基本公式，复合函数。
具体要求如下：
1．理解导数的概念及其几何意义.了解左导数与右导数的概念.
2．了解函数可导性、可微性与连续性的关系.
3．会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程.
4．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法.
5．会求隐函数的一阶导数.
6．了解高阶导数的概念.会求函数的二阶导数.
7．了解微分的概念.会求函数的微分.
本章主要内容
第一节 导数概念
一、导数定义<定义3.1>设函数
在点
的邻域有定义，对应自变量增量
（使
仍在邻域内）有函数增量
，如果极限
存在，则称
在点
可导，且称存在的极限为
在点
处的导数，记作
或
，
，即
，如果上述极限不存在，则称
在点
处不可导.若令
，从而
，且当
时，
，
于是有定义1的等价定义.<定义3.2>设
在点
的邻域有定义，
是邻域内一点.如果极限
存在,则称
在点
处可导.且称存在的极限为
的导数，即
.<定义3.3>若
存在，则称此极限为
在点
处的右导数，记为
，即
.同理可有左导数
，即
.由于极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，故有如下：[定理]
在点
处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等.<定义3.4>若
在
内的每一点都可导，则称
在
内可导，
称为
的可导区间.若
在
内可导，对应每个
，都有导数
与之对应，所以可称
为导函数，对取定的一个
，称
为导数值，显然
是导函数
在点
处的函数值，即
，由此，可知
.二、可导性与连续性的关系如果
在点
处可导，则
在点
处连续.如果
在点
连续，但
在点
未必可导.如果
在点
不连续，则
在点
不可导.三、导数的几何意义若
在点
处的导数
存在，则曲线
在点
（
，
称为切点）处有切线，且
为切线的斜率.
第二节 导数运算
一、基本导数公式
（
是常数）
（
是实数）
，
，
二、复合函数求导法则设
由
，
复合而成，若
在点
处可导，
在
处可导，则
在
处可导，且有如下法则：
.
第三节 高阶导数
一、高阶导数二阶及以上阶导数统称为高阶导数.
第四节 微分
一、微分概念1．微分定义<定义3.4>设
在点
的邻域有定义，
在该邻域内，如果函数增量
可表为
，其中
是不依赖
的量，
是
时关于
的商阶无穷小量，则称
在点
处可微分，简称可微，称
为
在点
处的微分，记作
，即
.若
可微，有
，从而
所以
是
时关于
的高阶无穷小，即
.这说明：当
很微小时，
是
的近似值，即
.2．可微与可导的关系[定理1]
在点
处可微的充分必要条件是
在点
处可导.可微与可导是等价概念.由此定理的证明过程还给出如下关系式：
即
在一点的微分等于
在该点的导数乘自变量的微分.3．微分的几何意义
在点
处的微分
表示曲线
在点
处的切线上横坐标为
与横坐标为
的两个点的纵坐标之差.（图3-1）
是曲线上两点纵坐标之差，由图3-1可看出，当
越微小时，
与
之差就越小，所以
对微小的
有效.二、微分法则1．基本微分公式由于可微与可导是等价概念，且由
，可知有如下基本微公公式.
（
是常数）
（
为实数）
，
，
2．微分四则运算法则设
，
，
是常数，则
3．复合函数微分法（微分形式不变性）