第八章 常微分方程
题目1
题型： 单项选择题
例1．下列函数中，是微分方程
的通解的是（ ）A．
B．
（
是任意常数）C．
（
，
是任意常数）D．
答案：
选C．
分析：
首先验证是否是解，再判明是否通解．根据解的概念，只须将及其导数代入方程，若方程两端恒等，则可判明是解． 对A，，，，代入方程． 对B，，，，代入方程． 对C，，，，代入方程， 对D，，，，代入方程． 因此，所给函数都是方程的解．由于方程是二阶微分方程，只有中含两个任意常数，所以中函数是通解．
题目2
题型： 解答题
例2．求微分方程
的通解．答案：
分离变量，有： 两边积分 所以，所求方程通解为：（是任意常数）．
分析：
求解微分方程时，一般应首先判断方程的类型，然后用相应的解法求解，将此方程变形： ， 判明此方程为可分离变量方程． 关于微分方程的解法 要求掌握以下三类一阶微分方程的解法． （1）变量可分离方程，解法是：分离变量，两边积分即得通解． （2）齐次微次方程，解法是：用齐次代换化方程为可分离变量方程，求出的通解后再将代回． （3）一阶线性微分方程： 一阶线性齐次微分方程的通解公式为 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为 通过计算积分可求出通解． 若求满足初始条件的特解，应先求出通解，将初始条件代入通解，确定任意常数的值，将值代入通解即得满足初始条件的特解．
题目3
题型： 解答题
例3．求微分方程
的通解．答案：
将方程化为 令，则，，代入原方程： 分离变量，得： 两边积分， 从而，将代回，故所求微分方程的通解为：
分析：
分析：方程两边除以，得 由此可知该方程为齐次微分方程．
题目4
题型： 解答题
例4．求微分方程
满足初始
的特解．答案：
将方程改写为：，其中， 所以 即方程的通解为： 初初始条件代入通解式： 故方程满足初始条件的特解为：
分析：
此方程中变量，不可分离，又关于，也不是齐次多项式，不构成齐次方程，又微分方程也不是关于未知函数的一阶线性微分方程，但方程两边取倒数，有： 可改写为： 这是以为未知函数的一阶线性非齐次方程，其中 ，