第三章 导数与微分
题目1
题型： 单项选择题
例1．设
在点
处可导，则
（ ）A．
B．
C．
D．
答案：
应选A．
分析：
这里表示自变量增量，为使被求极限式符合导数的定义式，则应对分子变形： 于是 上式等号右端的第二项已符合导数的定义式，应等于，第一项尚不符合定义域，还应变形： 故结果为 本题目依据导数定义解答： 导数定义如下： 或 左导数 右导数存在存在且相等．
题目2
题型： 单项选择题
例2．设
在
处可导，
，且
，则
（ ）A．0
B．1
C．
D．不可确定
答案：
应选B．
分析：
已知，由定义有，根据已知，故可将改写为，所以．
题目3
题型： 解答题
例3．求曲线
上点
处的切线方程和法线方程．答案：
将代入，有：，从而切点坐标为． 对两边求导：，将代入，知． 故切线方程为：，即 法线方程为：，即
分析：
此类型题目思路如下． 导数的几何意义及应用． 给出曲线上点处曲线切线的斜率． 曲线上点(此点即为切点)处的切线方程为： 法线方程为: 关于切线（法线）方程的建立，有如下两类问题． （1）已知切点横坐标．求解步骤为：将代入，计算切点纵坐标；求出，然后写出切线（法线）方程． （2）已知某点处切线与已知直线的位置关系，（平行或垂直）．求解步骤为：设切点．根据切点在曲线上，可得方程；求出，按已知条件建立切线斜率应满足的等式，即又一个方程，解此方程组，得，进而写出切线（法线）方程．
题目4
题型： 解答题
例4．求曲线
的平行于直线
的切线方程．答案：
设切点为． ，点处的切线斜率为． 又，已知直线，，斜率为2，由题设，两直线平行，斜率相等，从而，，知，再由，知，所以切点为，． 故所求切线方程为：，即
分析：
此类型题目思路如下． 导数的几何意义及应用． 给出曲线上点处曲线切线的斜率． 曲线上点（此点即为切点）处的切线方程为： 法线方程为： 关于切线（法线）方程的建立，有如下两类问题． （1）已知切点横坐标．求解步骤为：将代入，计算切点纵坐标；求出，然后写出切线（法线）方程． （2）已知某点处切线与已知直线的位置关系，（平行或垂直）．求解步骤为：设切点．根据切点在曲线上，可得方程；求出，按已知条件建立切线斜率应满足的等式，即又一个方程，解此方程组，得，进而写出切线（法线）方程．
题目5
题型： 解答题
例5．设
，当
为何值时，
在
可导．答案：
解： 因此，得， 从而，再由，有 综上，可知，时，在处可导．
分析：
分析：在可导，应满足，在可导，则在必连续，应满足． 关于函数在一点处可导与连续的关系． 若设在点可导，则在点连续．根据可导的充要条件是左、右导数存在且相等；连续的必要条件是极限存在，即左、右极限存在且相等，可列举两个等式（即两个方程），由此可解常见的如下问题．