第六章 定积分
题目1
题型： 单项选择题
例1．下列定积分值为正值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：
选B
分析：
根据定积分概念，在上，，在上，，在上，，所以A、C、D所给定积分为负值．在上，所以为正值．
题目2
题型： 单项选择题
例2．下列不等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：
选B．
分析：
A中，当时，，不正确，同理，根据定积分的有序性，知、不正确，只有正确． 定积分的性质． 重点理解定积分的有序性，即：若，对任意，则．推论，有．
题目3
题型： 单项选择题
例3．设
，则
=（ ）A．
B．
C．
D．
答案：
选B．
分析：
计算，用结果与备选项对比． ，故知正确． 关于变上限函数及其导数． 设在上连续，，是变上限函数． ，更一般地：
题目4
题型： 单项选择题
例4．设
，则
（ ）A．
B．
C．3
D．-3
答案：
选A．
分析：
应先求出，由两边对求导，有 再计算
题目5
题型： 解答题
例5．讨论
如何计算答案：
若用公式计算，有：
分析：
由定积分的几何意义，知的值表示图6-2中阴影图形面积，其值等于-2是不符合实际意义的，这个结果是肯定不正确的，事实上，由于在无定义，从而不连续，且，所以不可用公式计算． 至于该问题涉及什么概念，又应如何计算的问题已超出了本课程的大纲，不再讨论． 关于牛顿·莱布尼兹公式及定积分的计算 设在上连续，则，其中，（是的原函数） （1）若在，或内某点不连续，且无界，即或，若，时，不可用牛顿·莱布尼兹公式计算定积分． （2）用牛顿·莱布尼兹公式时，对分段函数应分段积分．
题目6
题型： 单项选择题
例6．
（ ）A．2
B．3
C．
D．
答案：
选D．
分析：
因为，在上的法则不唯一，即在上，；在上，，所以应分别计算和，然后求其和． 用牛顿·莱布尼兹公式时，对分段函数应分段积分．
题目7
题型： 解答题
例7．求
答案：
解：令且 从而
分析：
用第二换元法计算定积分时，一定要注意，在更换积分变量时，要更换积分上、下限．
题目8
题型： 解答题
例8．求曲线
与直线
所围图形的面积．答案：
解：见图6-3 由解得交点 <法一>将图形投影到轴上，投影区间为，即为对积分的积分区间．上方边界方程为直线方程，下方边界方程为曲线方程，即，则为被积函数，所以 <法二>将图形投影到轴上，投影区间为，即为对积分的积分区间，由于当时，右方边界曲线为曲线在轴的右半支，左方边界曲线为曲线在轴的左半支；当时，右方边界为曲线在轴的右半支，左方边界为直线，因为左方边界方程不唯一，所以应用轴将图形分割为上、下两部分，分别计算然后相加． 因为对积分，由解，（以为自变量，为因变量） 为右半支方程，为左半支方程，由解，． 由此例应体会，选择对积分较简单．
分析：
此题目属于关于定积分的几何应用中的平面图形面积的计算问题，故计算面积时，应画出图形，根据图形特点（由交点所反映）选择好积分变量，然后应用相应分式计算．
题目9
题型： 解答题
例9．求由曲线
，
与直线
所围图形绕
轴旋转一周生成的旋转体的体积．答案：
解：见图6-4 由可解出 根据分式，
分析：
此题目属于关于定积分的几何应用中的旋转体体积的计算． 假设由轴上为底，直线，（垂直于轴的两条平行直线）和曲线所围曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体体积的计算公式为： 应用这个公式的关键条件是：底必须落在轴上．若平面图形由直线，，曲线，（不妨设）所围，则该图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积等于与之差，即 或