高等数学

答案：

解：由于出现在底式中，对求偏导数时，应看作常数，对来说构成幂函数，所以应按幂函数求导． 由于出现在底式和指数中，对求导时，应按幂指函数求导． 对两边取对数， 两边对求导， 所以

分析：

此例说明，对指定的自变量求偏导数时，二元函数解析式关于该自变量构成哪类函数，是正确选择求导公式或法则的基础．

答案：

分析：

混合偏导数为第一次对求偏导数，第二次再对求偏导数．

答案：

分析：

分析：设，，则，函数为二中间变量二自变量复合函数，求偏导数所用公式可用如下线路图表示． 关于二元复合函数微分法． 二元复合函数有如下三种类型： （1）两中间变量两自变量，即 （2）一个中间变量，两自变量，即 （3）两中间变量，一个自变量，即 二元复合函数对自变量的导数计算公式分别为： （1） （2） （3）

答案：

由求对的导数时，若记为易与待求的混淆，所以通常记为．

分析：

题设函数为二中间变量一个自变量的二元复合函数，中的应视为中间变量，求导线路图如下：

答案：

， 令 由①，代入②，有，，得，；当时，；当时，，驻点为，． 又，， 在处，由于，所以在处函数无极值． 在处，由于且，所以在处函数取极大值．

分析：

此题为关于二元函数的极值问题． 设，方程组的解称为驻点，驻点是极值点的必要点． 令，， 判定极值的充分条件是： （1）当时，无极值． （2）当时，在取极值． 时，是极小值． 时，是极大值． （3）当时，不能判定．

答案：

<法一>将D投影到轴，则， <法二>将D投影到轴，在A、C两点之间，左边界曲线为，右边界为直线和，故应用BE将D分割为上、下两个子区域． 上方区域为 下方区域为 （投影到轴时，先对积分，应将看作自变量，为因变量，故由解反函数，其中为左半支，为右半支；由解反函数）． 说明：带*的积分为零的理由是：积分计算时，是常数，是关于的奇函数，积分上、下限恰为一对相反数，所以积分值为零，零再对求定积分仍为零． 此例启发我们认识到，将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序，以使计算简便．解此例时，法一优于法二．

分析：

分析：为确定积分限，首先应作的图形，而为作图形，又应解出包围的各曲线的交点，根据图形会有利于确定积分限． 由，得，，，，由此解得，． 当，时，由可计算得，，从而交点为，． 的图形见图7-1阴影部分．