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第三节函数的几种简单性质
一、函数的奇偶性
一、函数的奇偶性<定义1.3>给定函数
，其定义域为
（
不止一个零点）（1）如果对一切
，满足
，则称
为偶函数.（2）如果对一切
，满足
，则称
为奇函数.（3）如果对一切
，既不满足
，也不满足
，则称
为非奇非偶函数.对偶函数，由于
，如果点
在
图形上，则点
即点
也必在
图形上，所以偶函数的图形关于
轴轴对称。（如图1-4）
对奇函数，由于
，如果点
在
图形上，则点
即点
也必在
图形上，所以奇函数的图形关于坐标原点中心对称.（如图1-5）
非奇非偶函数的图形无对称.由定义可知，关于函数
的奇偶性的判定，归结为讨论
与
的关系例1．判定函数
的奇偶性.解：
所以
是奇函数.例2．判定函数
的奇偶性.解：
所以
是偶函数.例3．判定函数
的奇偶性.解：
所以
，而
，从而
，故
是非奇非偶函数.例4．设
在
有定义，试证
是偶函数.证：
所以
是偶函数.仿此例，可证
是奇函数.例5．设
为偶函数，
为奇函数，试证
为奇函数.证：
已知
，
所以
，故
为奇函数.仿此，可证下述结论正确.（1）偶函数之和为偶函数；奇函数之和为奇函数；偶函数与奇函数之和非奇非偶.（2）偶函数之积为偶函数；奇函数之积为偶函数；偶函数乘奇函数为奇函数.常遇到的函数中，
（
是常数），
，
，
，
，
，
等是偶函数；
，
，
，
，
，
等是奇函数.