高等数学

第二节函数概念

一、函数定义

    
    <定义1.2>若是一个非空实数集合，表示某种对应规则，若对每一个，在规则总有一个唯一确定的实数与之对应，则称对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数，记作．
    称为自变量，称为因变量．称为函数的定义域，通常记为．
    当时，对应的函数值记为或或．
    当取遍中一切值时，所对应的函数值的集合称为函数的值域，记作．
    关于函数定义应注意以下概念要点：
    1．定义域和对应规则（即运算规则）是构成函数关系的两个要素．在定义域相同，而对应规则不同时，函数的值域必定不同，所以对应规则可由值域体现．
    2．在具体问题中，表示含的运算式，称为函数的解析表达式，如：的内容为“二次幂运算”，则可表示，这里是函数的解析表达式．由此应理解，既使不写成方程的形式，只写出即可表式成一个函数，即，，，，，等等均表示自变量的函数，特别地，（是常数）亦表示一个函数，通常称为常数函数．
    3．函数定义域不能是空集．如果对任何实数按给定的对应规则找不到与之相应的值，当然应该认为对应规则是无意义的，所以不能认为是函数关系．如：设．当取任意实数时，总有，而要求时有意义，故知规则对任意实数均无意义，所以不是的函数．
    4．因变量值应是唯一确定的．若在对应规则下，对每一个值有不止一个因变量值与之对应，则不可认为决定了一个函数．如，对于一个值，有无穷多个值与之对应，由“>”体现的对应规则不可认为确定了一个函数．再如由方程解出时得，对于一个值，有两个值与之对应，故不可认为由方程体现的对应规则确定了一个函数．
    例1．确定函数的定义域
    （1）
    （2）
    （3）
    分析：依定义域的概念，即使对应规则（运算规则）有意义的自变量取值集合，决定了确定函数定义域的方法是，按运算规则列举含的不等式（组），不等式（组）的解的集合给出定义域．通常用区间形式表示定义域．常见运算规则有以下4种：分母不为零；偶次根式被开方式非负（即大于等于零）；对数真数大于零；及要求．
    解：
    （1）对任何实数有，所以．
    （2）所以
    
    （3） 所以
    例2．设函数的定义域为，则的定义域是___．
    填
    分析：根据定义域概念，当时，对应规则有意义，故对应满足．由此可解出．
    例3．下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）．
    A．与
    B．与
    C．与
    D．与
    应选D．
    分析：根据函数概念，函数两要素是定义域和对应法则，而对应法则由值域体现，所以，当且仅当定义域和值域完全相同时，才可认为两个函数是相同函数．
    A中，两函数的定义域都是，但值域不同，的值域为，的值域为．
    B中，两函数的定义域不同，，．
    C中，两函数的定义域不同，，．
    D中，两函数的定义域同为，值域同为．
    例4．已知，求，，，，．
    分析：由函数概念所求均为函数在自变量取定值点对应的函数值，用自变量取定值替换函数表达式中的，经计算或化简即得所求．
    解：
    
    例5．已经，求．
    分析：参照例4所求可知，已知可理解为在中，当取时所得结果．若将等式右端的化为，再将代之以，则可得的表达式，为将表为，注意到，故应构造出，可配成的平方．
    解：
    方法一
    
    所以方法二
    令，则，一并代入已知，有
    
    即