高等数学

第四节反函数、复合函数

一、反函数

    
    一、反函数<定义1.8>设的定义域为，值域为．如果对于每一个都有一个确定的满足的与之对应，其对应规则记为（读作逆），这个定义在上的函数称为的反函数（原型反函数）．亦称与互为反函数．一对函数互为反函数的概念的本质是：互为逆法则，可参见图1-12理解．在中，是自变量，是因变量，定义域为，值域为．在，是自变量，是因变量，定义域为，值域为．由此可知，求已给函数的反函数就是从方程解，即用含的解析式表示．由于我们习惯用表示自变量，用表示因变量，因此通常将改写为，并称是的反函数（矫型反函数），求的反函数要求最终表为矫型反函数．由反函数的定义可知，的定义域是的值域，的值域是的定义域．由于与的关系的本质是与互换，即平面上点的横纵坐标互换，所以的图形与的图形关于直线轴对称．例1．求函数的反函数．解：由解：，故所求为由图1-13可看出两直线关于轴对称．例2．设，又与的图形关于对称，求的解析式．解：由一对反函数的图形的对称关系，可知应为的反函数，故由解即可得．，，，，所以．